Roxana
Exercițiile cu numere naturale și cifre distincte pot părea simple la prima vedere, însă rezolvarea lor corectă presupune atenție la fiecare condiție din enunț. Un exemplu foarte bun este următoarea problemă: „Care este cel mai mare număr format din cifre pare diferite, mai mic decât 800.000?”.
Pentru a găsi răspunsul corect, trebuie să observăm două condiții importante. În primul rând, numărul trebuie să fie alcătuit exclusiv din cifre pare. În al doilea rând, cifrele folosite trebuie să fie diferite, ceea ce înseamnă că nicio cifră nu poate apărea de două ori.
Rezolvarea devine mult mai simplă dacă analizăm problema pas cu pas.
Care sunt cifrele pare
În sistemul de numerație zecimal există zece cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.
Dintre acestea, cifrele pare sunt:
0, 2, 4, 6 și 8.
Avem, așadar, numai cinci cifre pare diferite pe care le putem utiliza pentru construirea numărului cerut.
Această observație este esențială.
Enunțul nu spune doar că numărul trebuie să fie par, situație în care ar fi suficient ca ultima cifră să fie pară. El precizează că numărul trebuie să fie „format din cifre pare diferite”. Prin urmare, fiecare cifră care apare în număr trebuie să aparțină mulțimii {0, 2, 4, 6, 8}, iar cifrele nu se pot repeta.
De ce nu putem construi un număr de șase cifre
Numărul trebuie să fie mai mic decât 800.000.
La prima vedere, am putea încerca să găsim un număr de șase cifre cât mai apropiat de această valoare. Problema este că avem la dispoziție numai cinci cifre pare diferite:
0, 2, 4, 6 și 8.
Pentru construirea unui număr de șase cifre ar trebui să folosim șase cifre. Cum dispunem numai de cinci cifre pare distincte, cel puțin una dintre ele ar trebui repetată.
Acest lucru ar încălca însă condiția din problemă.
De exemplu, numărul 688.420 este mai mic decât 800.000 și este format numai din cifre pare, dar cifra 8 apare de două ori. Prin urmare, nu respectă cerința privind cifrele diferite.
La fel, numere precum 668.420, 686.420 sau 624.480 nu pot reprezenta soluția atunci când conțin o cifră repetată.
Așadar, numărul căutat poate avea cel mult cinci cifre.
Cum construim cel mai mare număr posibil
Odată ce am stabilit că numărul poate avea maximum cinci cifre, trebuie să construim cel mai mare număr de cinci cifre folosind cifrele:
0, 2, 4, 6 și 8.
Pentru obținerea celui mai mare număr posibil, cifrele trebuie așezate în ordine descrescătoare.
Începem cu cea mai mare cifră, 8.
Urmează 6, apoi 4, 2 și, în final, 0.
Obținem:
86.420
Acesta este cel mai mare număr care poate fi construit folosind toate cele cinci cifre pare, fără repetarea vreuneia dintre ele.
Putem verifica foarte simplu rezultatul.
Cifrele numărului 86.420 sunt 8, 6, 4, 2 și 0. Toate sunt pare și toate sunt diferite.
În plus:
86.420 < 800.000
Prin urmare, toate condițiile problemei sunt respectate.
De ce ordinea cifrelor este importantă
Atunci când trebuie să construim cel mai mare număr folosind un anumit grup de cifre, poziția fiecărei cifre are o importanță foarte mare.
În cazul numărului 86.420, cifra 8 ocupă poziția zecilor de mii. Aceasta este poziția cu cea mai mare valoare.
Dacă am schimba primele două cifre și am scrie 68.420, numărul ar deveni considerabil mai mic.
Avem:
86.420 > 68.420.
Același principiu se aplică și următoarelor poziții. După ce am așezat cifra 8 prima, trebuie să alegem cea mai mare cifră rămasă, adică 6. Apoi alegem 4, după aceea 2, iar 0 rămâne pe ultima poziție.
Astfel, ordinea descrescătoare maximizează valoarea numărului.
Este o regulă foarte utilă pentru numeroase exerciții de matematică din clasele primare.
Dacă cerința este „formează cel mai mare număr folosind cifrele date”, cifrele sunt așezate, de regulă, în ordine descrescătoare.
Dacă cerința este „formează cel mai mic număr”, cifrele sunt așezate în ordine crescătoare, cu atenție însă la cifra 0. Zero nu poate ocupa prima poziție a unui număr natural de mai multe cifre.
Verificarea răspunsului
La finalul unui astfel de exercițiu este recomandat să verificăm fiecare condiție din enunț.
Numărul obținut este:
86.420
Prima condiție: cifrele trebuie să fie pare.
Cifrele sunt 8, 6, 4, 2 și 0. Toate sunt cifre pare.
A doua condiție: cifrele trebuie să fie diferite.
Nicio cifră nu se repetă, deci și această condiție este îndeplinită.
A treia condiție: numărul trebuie să fie mai mic decât 800.000.
86.420 este evident mai mic decât 800.000.
A patra condiție implicită este să găsim cel mai mare număr posibil.
Nu putem construi un număr de șase cifre fără să repetăm una dintre cele cinci cifre pare. Prin urmare, trebuie să ne limităm la un număr de cinci cifre. Dintre toate numerele de cinci cifre care pot fi construite cu 0, 2, 4, 6 și 8, cel mai mare este cel în care cifrele sunt așezate descrescător.
Răspuns: 86.420.
Un truc simplu pentru astfel de probleme este să identificăm mai întâi cifrele permise, apoi să verificăm dacă acestea se pot repeta. După aceea stabilim numărul maxim de poziții pe care le putem ocupa și așezăm cifrele de la cea mai mare la cea mai mică atunci când ni se cere valoarea maximă.
În cazul acestei probleme, cele cinci cifre pare diferite sunt 0, 2, 4, 6 și 8. Pentru că nu avem o a șasea cifră pară distinctă, nu putem forma un număr de șase cifre. Prin așezarea celor cinci cifre în ordine descrescătoare obținem 86.420
